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怎样用在matlab中用 newton-cotes数值积分法

发布时间:2019-07-21 16:34 来源:未知 编辑:admin

  毕业于福建农林大学,本科学士学位。从事IT行业3年,曾参与过多个大型项目的需求调研、软件研发。

  数值积分要做的就是确定上式中的节点xk和系数Ak。可以证明当求积系数Ak全为正时,上述数值积分计算过程是稳定。

  当求积节点在[a,b]等间距分布时,插值型积分公式(先使用Lagrange对节点进行多项式插值,再计算求积系数,最后求积分值)称为Newton-Cotes积分公式。

  由于Newton-Cotes积分是通过Lagrange多项式插值变化而来的,我们都知道高次多项式插值会出现Runge振荡现象,因此会导致高阶Newton-Cotes公式不稳定。

  容易证明上式具有一次代数精度(对于Newton-Cotes积分公式,n为奇数时有n次迭代精度,n为偶数时具有n+1次精度,精度越高积分越精确,同时计算量也越大)

  上式具有5次迭代精度。由于n=3和n=2时具有相同的迭代精度,但是n=2时计算量小,故n=3的Newton-Cotes积分公式用的很少

  由于数值积分稳定的条件是求积系数Ak必须为正,所以n=8以上高阶Newton-Cotes公式,我们不能保证积分的稳定性(其根本原因是,Newton-Cotes公式是由Lagrange插值多项推导出来的,而高阶多项式会出现Rung现象)。

  n阶Newton-Cotes公式只能有n+1个积分节点,但是高阶Newton-Cotes公式由不稳定。为了提高大区间的数值积分精度,我们采用了分段积分的方法,即先将原区间划分成若干小区间,然后对每一个小区间使用Newton-Cotes积分公式,这就是复化Newton-Cotes求积公式。

  (1)当n=1时,称为复化梯形公式。将[a,b]等分为n份,子区间长度为h=(b-a)/n,则复化梯形公式为

  (注意:复化求解公式不需要求积子区间等间距,只是Newton-Cotes公式分段积分时自动对小区间进行等分,我们这里采用等分子区间是为了便于计算而已)

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